반코마이신을 투여 중인 환자에서 TDM을 시행하였다. 정상상태 최저농도(trough)가 목표 범위인 10~20 mg/L를 초과하여 28 mg/L로 측정되었다. 현재 투여 용량은 1,000 mg을 12시간마다 정맥 투여 중이며, 환자의 소실속도상수(k)는 0.12 h⁻¹, 분포용적(Vd)은 40 L이다. 목표 최저농도를 15 mg/L로 맞추기 위한 새로운 투여간격(τ)으로 가장 적절한 것은? (단, 1구획 모델, 완전 흡수 가정, 최고농도는 주입 직후 C₀로 산정)

정답 계산 과정

1구획 정맥 단회 투여 반복 시, 정상상태 최저농도는 다음 식으로 구한다.
Css,trough = (D/Vd) × e^(−k·τ) / (1 − e^(−k·τ))

현재 상태 확인: D = 1,000 mg, Vd = 40 L, k = 0.12 h⁻¹, τ = 12 h
C₀ = 1,000/40 = 25 mg/L
e^(−0.12×12) = e^(−1.44) ≈ 0.2369
Css,trough = 25 × 0.2369 / (1 − 0.2369) = 5.923 / 0.7631 ≈ 7.76 mg/L

그런데 측정값이 28 mg/L이므로, 이는 정상상태에서 측정된 실제 trough이다. 목표 trough = 15 mg/L로 조정 시 새로운 τ를 구한다.

동일 용량(1,000 mg) 유지 시:
Css,trough = (D/Vd) × e^(−k·τ) / (1 − e^(−k·τ)) = 15
25 × e^(−0.12τ) / (1 − e^(−0.12τ)) = 15
e^(−0.12τ) = 15(1 − e^(−0.12τ)) / 25 → 25·e^(−0.12τ) = 15 − 15·e^(−0.12τ)
40·e^(−0.12τ) = 15 → e^(−0.12τ) = 0.375
−0.12τ = ln(0.375) = −0.9808
τ = 0.9808 / 0.12 = 8.17 h

※ 위 계산은 이론적 정상상태 식 기반이나, 문제에서 실측 trough = 28 mg/L를 사용하는 방법도 있다.

실측 trough 이용법: 현재 C_trough = 28 mg/L, C₀(주입 직후) = 25 mg/L이므로 이 환자의 실제 k를 역산한다.
정상상태에서 C_trough = C₀ × e^(−k·τ) / (1 − e^(−k·τ))
→ 28 = 25 × e^(−k·12) / (1 − e^(−k·12))
→ 28(1 − e^(−12k)) = 25·e^(−12k)
→ 28 − 28·e^(−12k) = 25·e^(−12k)
→ 28 = 53·e^(−12k)
→ e^(−12k) = 28/53 = 0.5283
→ k = −ln(0.5283)/12 = 0.6382/12 = 0.0532 h⁻¹

목표 trough = 15 mg/L, 동일 D = 1,000 mg:
15 = 25 × e^(−0.0532τ) / (1 − e^(−0.0532τ))
15(1 − e^(−0.0532τ)) = 25·e^(−0.0532τ)
15 = 40·e^(−0.0532τ)
e^(−0.0532τ) = 0.375
τ = −ln(0.375)/0.0532 = 0.9808/0.0532 ≈ 18.4 h → 18시간

검산: e^(−0.0532×18) = e^(−0.9576) = 0.384
Css,trough = 25 × 0.384 / (1 − 0.384) = 9.6 / 0.616 ≈ 15.6 mg/L ≈ 15 mg/L (적합)

오답 해설
1번(8시간): k를 주어진 0.12로 그대로 사용하여 계산한 이론값(8.17 h)에 근접하나, 실측 trough를 반영하지 않은 오류.
2번(14시간): τ 계산 시 목표 trough에 C₀ 대신 Css,avg를 혼동하여 도달하는 오답.
3번(16시간): e^(−kτ) 계산 시 자연로그 대신 상용로그(log₁₀)를 사용했을 때 도달하는 값.
5번(24시간): 목표 trough를 10 mg/L(하한값)로 잘못 설정하거나, 투여간격을 단순히 2배로 늘리는 실수에서 도달하는 값.