핵심 해설
이 문제는
1구획 모델(One-compartment model)에서 반복 정맥 투여 시 축적(Accumulation) 정도를 계산하는 약동학(Pharmacokinetics) 문제예요. 핵심은
핵심! 투여 간격(τ)이 약물의 반감기(t½)와 동일할 때,
소실 속도 상수(k)와 투여 간격의 곱(kτ)이 ln2가 되어 e^(-kτ) 값이 정확히
0.5가 된다는 점이에요.
핵심 개념 분석 (Key Concept)
반복 투여 시 약물의 축적은 등비급수(Geometric series)의 합으로 표현됩니다. 매 투여 시 이전 투여량의 일정 비율(여기서는 0.5)이 체내에 남아있기 때문에, n번째 투여 직후 최고 혈중농도(Cmax,n)는 첫 투여 직후 농도(C₀)에 일정 계수를 곱한 값이 됩니다. 투여 간격이 반감기와 같다면, 약물은 한 번의 투여 간격 동안 정확히 절반이 소실되므로 등비가
0.5인 등비급수가 돼요.
정답 근거 (Answer Rationale)
n회 투여 직후 최고 농도를 구하는 공식은 다음과 같아요.
Cmax,n = C₀ × (1 − e^(-nkτ)) / (1 − e^(-kτ))
여기서 반감기(t½)가 6시간이고 투여 간격(τ)도 6시간이므로 e^(-kτ) = e^(-ln2) = 0.5예요.
n=5를 대입하면,
Cmax,5 = C₀ × (1 − 0.5⁵) / (1 − 0.5)
= C₀ × (1 − 0.03125) / 0.5
= C₀ × 0.96875 / 0.5
= C₀ ×
1.9375
소수점 셋째 자리에서 반올림하면
1.94배가 정답이에요.
검산을 위해 직접 각 투여 후 남은 농도를 더해볼 수도 있어요.
1차: C₀
2차: C₀ + 0.5C₀ = 1.5C₀
3차: C₀ + 0.5(1.5C₀) = 1.75C₀
4차: C₀ + 0.5(1.75C₀) = 1.875C₀
5차: C₀ + 0.5(1.875C₀) =
1.9375C₀
직접 계산 결과와 공식에 의한 결과가 정확히 일치하는 것을 확인할 수 있어요.
오답 분석 (Distractor Analysis)
①
1.84배: n=4일 때의 축적 계수(1 − 0.5⁴)/(0.5) = 0.9375/0.5 = 1.875를 소수점 셋째 자리 반올림 과정에서 계산 오류를 범한 경우예요. 4회 투여 직후 농도를 묻는 문제와 혼동하지 않도록 주의하세요.
②
1.97배: n=6일 때의 결과값이에요. (1 − 0.5⁶)/(0.5) = 0.984375/0.5 = 1.96875로, 5회가 아닌 6회 투여 시 축적 계수예요.
③
2.00배:
혼동 주의! 이 값은 무한대 시간 투여 시 도달하는 정상상태(Steady state)에서의
축적 계수(Accumulation factor, R)예요. R = 1/(1 − e^(-kτ)) = 1/(1 − 0.5) = 2.0. 하지만 이 문제는 정상상태가 아닌
5회 투여 직후라는 특정 시점을 묻고 있으므로 정상상태 계수를 그대로 적용하면 안 돼요.
④
1.75배: 3회 투여 직후의 농도(1.75C₀)를 5회 투여로 착각했거나, 등비급수의 항을 잘못 계산한 경우예요.
연관 개념 정리 (Related Concepts)
반감기와 투여 간격이 동일한 경우(t½ = τ)는 약동학 문제에서 가장 기본적이면서도 중요한 시나리오예요.
핵심! 정상상태 도달 시간은 반감기의 약 4~5배이며, 이때 축적 계수는 2.0에 수렴합니다.
만약 t½ ≠ τ인 경우, e^(-kτ) 값이 0.5가 아니므로 공식에 직접 k 값을 계산( k = ln2 / t½ )하여 대입해야 해요.
개념 정리
| 개념 | 공식/정의 | t½ = τ일 때 |
|---|
| 소실 속도 상수(k) | k = ln2 / t½ | kτ = ln2 → e^(-kτ) = 0.5 |
| n회 투여 후 최고 농도 | Cmax,n = C₀ × (1 − e^(-nkτ)) / (1 − e^(-kτ)) | C₀ × (1 − 0.5ⁿ) / 0.5 |
| 정상상태 축적 계수(R) | R = 1 / (1 − e^(-kτ)) | 2.0 |
| 정상상태 도달 시간 | 약 4~5 × t½ | 24~30시간 (5회 투여 시점 근접) |
한눈에 비교!
| 투여 횟수(n) | 축적 계수 (Cmax,n / C₀) | 정상상태(2.0) 대비 비율 |
|---|
| 1회 | 1.00 | 50.0% |
| 2회 | 1.50 | 75.0% |
| 3회 | 1.75 | 87.5% |
| 4회 | 1.875 | 93.75% |
| 5회 | 1.9375 (≒1.94) | 96.875% |
| 무한대(∞) | 2.00 | 100% |
약리기전 포인트
이 문제는 약물 자체의 약리 작용보다는
약동학적 축적 원리를 이해하는 것이 핵심이에요. 반복 투여 시 체내 약물량이 증가하는 이유는
이전 투여분이 완전히 소실되기 전에 다음 투여가 이루어지기 때문이며, 이로 인해 혈중 농도가 점차 상승하다가 정상상태(Steady state)에 도달하게 됩니다. 이러한 축적 원리를 이해하면 치료약물농도감시(TDM)가 필요한 아미노글리코사이드계(Aminoglycosides) 항생제나 디곡신(Digoxin) 등의 용법 설계 근거를 이해할 수 있어요.
암기 팁
"반감기와 투여 간격이 같으면, 반씩 남는다!" → 등비가 0.5인 등비급수.
"5회 투여 축적 계수 1.94는 정상상태 2.0의 97% 수준!" → 반감기의 5배 시간이 지나면 거의 정상상태에 도달한다는 임상 원리와 연결.
등비급수 합 공식을 외우지 못했다면, 시험장에서 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625를 직접 더하는 것도 빠른 검산 방법이 될 수 있어요.
국시 빈출 포인트
이 유형은 약사 국가고시
약동학 파트에서 매년 출제되는 단골 계산 문제예요. 특히 t½ = τ인 상황을 주고 n회 투여 후 농도나 축적 계수를 묻는 문제가 매우 빈번하게 출제되니 반드시 숙지해야 해요. 최근에는 정상상태 도달 비율(예: "4회 투여 시 정상상태의 몇 %에 도달하는가?")을 묻는 형태로도 변형 출제되고 있어요.
기출 변형 주의!
단순 축적 계수 계산에서 나아가, "정상상태의 90%에 도달하는 데 필요한 투여 횟수는?" 또는 "부하 용량(Loading dose)을 투여한 경우 최고 농도 변화"를 묻는 문제로도 변형될 수 있어요. 부하 용량을 투여하면 첫 투여부터 목표 농도에 도달할 수 있다는 점까지 연결해서 학습해두면 좋아요.