이 문항은 분포의 모양이 대푯값의 위치를 결정한다는 점을 묻습니다. 대부분 가구가 낮은 금액에 몰리고 소수 가구가 매우 높은 금액을 보이면 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 양의 비대칭 분포가 됩니다. 이때 평균은 소수의 매우 큰 값에 끌려 올라가 가장 크고, 가장 많이 나타나는 값인 최빈값은 봉우리가 있는 낮은 쪽에 놓이며, 중앙값은 그 사이에 위치합니다. 따라서 최빈값, 중앙값, 평균의 순으로 커지는 2번이 정답입니다.
핵심 개념을 정리하면 평균은 모든 값의 합을 개수로 나눈 것이어서 극단값의 영향을 크게 받습니다. 중앙값은 값을 크기 순서로 놓았을 때 가운데 값이라 극단값의 영향을 덜 받습니다. 최빈값은 가장 자주 나타나는 값입니다. 좌우대칭인 정규분포에서는 세 값이 같습니다. 오른쪽 꼬리 분포는 최빈값, 중앙값, 평균 순으로 커지고, 왼쪽으로 긴 꼬리 분포에서는 반대로 평균, 중앙값, 최빈값 순으로 커집니다. 이 순서는 꼬리가 평균을 끌고 가는 방향으로 기억하면 됩니다.
가장 많이 고르는 오답은 4번 중앙값, 최빈값, 평균 순입니다. 평균이 가장 크다는 점은 맞게 짚었지만 최빈값이 중앙값보다 크다고 잘못 잡은 것입니다. 오른쪽 꼬리 분포에서 최빈값은 봉우리, 즉 값이 몰려 있는 가장 낮은 쪽이므로 중앙값보다 작아야 합니다. 3번은 왼쪽으로 긴 꼬리를 가진 음의 비대칭 분포에서 나타나는 순서입니다. 만약 문항이 소수의 매우 낮은 값 때문에 왼쪽 꼬리가 생긴 분포를 제시했다면 3번이 정답입니다. 1번은 대칭인 분포의 경우입니다.
소득이나 의료비처럼 소수의 큰 값이 있는 자료를 평균만으로 설명하면 대다수 주민이 실제로 쓰는 금액보다 높게 보이는 오해가 생깁니다. 이런 자료는 중앙값을 함께 제시하고 분포의 모양을 설명하는 것이 정직한 보고입니다. 보건사업의 대상자 부담을 설명하거나 자원을 배분할 때도 평균 한 가지 수치에만 의존하지 말고 분포를 살펴 소수의 극단값이 결과를 왜곡하지 않았는지 확인합니다. 평균과 중앙값의 차이가 크게 벌어진다면 분포가 한쪽으로 치우쳤다는 신호이므로 그래프로 모양을 확인하고 해석 방식을 바꿉니다. 평균만 알려 주는 보고서를 받았을 때에는 중앙값이나 사분위수가 있는지 먼저 확인합니다.
상황관내 가구별 한 달 의료비 분포를 살펴보는 보건소 담당자
자료 대부분 가구가 낮은 금액 구간에 몰려 있고, 소수 가구가 매우 높은 금액을 보여 오른쪽으로 긴 꼬리가 생겼다.
판단• 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 양의 비대칭 분포이다• 평균은 소수의 매우 큰 값에 끌려 올라가 가장 크다• 가장 자주 나타나는 값인 최빈값은 값이 몰린 낮은 쪽, 즉 봉우리에 놓인다• 중앙값은 그 사이에 놓이므로 최빈값, 중앙값, 평균 순으로 커진다
비교• 왼쪽으로 긴 꼬리 분포에서는 반대로 평균, 중앙값, 최빈값 순으로 커진다• 좌우대칭인 정규분포에서는 세 값이 같다• 순서는 꼬리가 평균을 끌고 가는 방향으로 기억한다
평가 소수의 큰 값이 있는 자료를 평균만으로 설명하면 대다수 주민의 실제 금액보다 높게 보이므로 중앙값을 함께 제시하고, 평균과 중앙값 차이가 크면 그래프로 분포의 모양을 확인한다.
핵심 포인트: 오른쪽 꼬리 분포는 최빈값 < 중앙값 < 평균
평균 (Mean) — 모든 값의 합을 개수로 나눈 값으로 극단값의 영향을 크게 받아 오른쪽 꼬리 분포에서 가장 크다.
중앙값 (Median) — 값을 크기 순서로 놓았을 때 가운데 값으로 극단값의 영향을 덜 받아 치우친 자료의 대푯값으로 적합하다.
최빈값 (Mode) — 가장 자주 나타나는 값으로 분포의 봉우리에 해당하며 오른쪽 꼬리 분포에서는 가장 작은 쪽에 놓인다.
양의 비대칭 분포 (Positively skewed distribution) — 오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 분포로 최빈값, 중앙값, 평균 순으로 커진다.
정규분포 (Normal distribution) — 좌우대칭인 종 모양 분포로 평균, 중앙값, 최빈값이 같은 값을 갖는다.