핵심 해설
이 문제는 약산(Weak Acid)의 이온화도(α, Degree of Ionization)를 산해리상수(Ka)와 초기 농도(C)로부터 계산하는 공식을 묻는 대표적인 물리약학(Physical Pharmacy) 계산 문제예요.
1. 핵심 개념 분석 (Key Concept)
약산
HA는 물에서 가역적으로 이온화되어 수소 이온(H⁺)과 짝염기(A⁻)를 생성합니다.
HA ⇌ H⁺ + A⁻
이온화도(α)란 초기 약산 농도(C) 중에서 이온화된 분자의 분율을 의미해요. 즉, [H⁺] = Cα, [A⁻] = Cα, 평형 상태에서 남아있는 비이온화된 HA의 농도는 [HA] = C(1-α)입니다.
산해리상수(Ka)의 정의는 다음과 같습니다:
Ka = [H⁺][A⁻] / [HA] = (Cα)(Cα) / [C(1-α)] = Cα² / (1-α)
문제에서
α ≪ 1로 가정한다고 했으므로, 분모 (1-α) ≈ 1로 근사할 수 있습니다.
따라서 Ka ≈ Cα²가 성립합니다.
이 식을 α에 대해 정리하면, α² ≈ Ka / C 이므로 α ≈
√(Ka / C)가 됩니다.
2. 정답 근거 (Answer Rationale)
핵심! 위의 유도 과정에 따라 정답은
② α = √(Ka / C)입니다.
이 공식은 약산의 농도가 충분히 묽고(희석), 이온화도가 매우 작을 때(α < 0.05 정도) 적용되는 근사식이라는 점이 중요해요.
이온화도는
산의 세기(Ka)가 클수록(강한 산일수록) 커지고,
초기 농도(C)가 작을수록(묽을수록) 커지는 특성이 있습니다. 이는 희석하면 이온화가 더 잘 일어난다는 '희석 법칙(Ostwald's Dilution Law)'과도 일치해요.
3. 오답 분석 (Distractor Analysis)
① α = √(Ka × C):
혼동 주의! Ka와 C를 곱한 후 제곱근을 취하면 α 값이 농도가 클수록 커지는 역관계가 되어 물리적으로 말이 안 됩니다. 이온화도는 묽을수록 커지므로 Ka와 C는 나눠야 해요.
③ α = Ka / C: 농도가 커질수록 α가 작아지는 경향은 맞지만, Ka가 매우 작은 약산에서는 이 식으로 계산한 α가 너무 작아져 정확하지 않습니다. 제곱근 관계를 무시했어요.
④ α = Ka × C: 농도가 증가할수록 α가 커지는 모순이 생깁니다. 잘못된 식이에요.
⑤ α = C / Ka: 농도가 증가할수록 α가 커지는 모순에 더해, Ka가 작은 약산일수록 α가 매우 커져서 물리적으로 말이 안 됩니다.
4. 연관 개념 정리 (Related Concepts)
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약염기(Weak Base)의 이온화도: 약염기 B의 경우, Kb = Cα² / (1-α)로 동일한 형태의 식이 적용되며, α ≪ 1이면 α ≈ √(Kb / C)가 됩니다.
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희석 법칙(Ostwald's Dilution Law): 약전해질의 이온화도는 희석함에 따라 증가합니다. 즉, 농도가 작아질수록 α가 커지고 전도도가 증가하는 현상을 설명해요.
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정확한 이차방정식 풀이: α가 0.05보다 큰 경우(즉, α ≪ 1 가정이 깨지는 경우)에는 근사를 사용하지 않고 Ka = Cα²/(1-α)를 α에 대한 이차방정식으로 풀어야 합니다: Cα² + Kaα - Ka = 0.
개념 정리
약산 HA의 이온화 평형 핵심 정리
| 항목 | 내용 |
|---|
| 평형 반응식 | HA ⇌ H⁺ + A⁻ |
| Ka 정의 | Ka = [H⁺][A⁻] / [HA] = Cα² / (1-α) |
| α ≪ 1 근사 조건 | 일반적으로 α < 0.05 이거나 Ka/C < 0.0025 정도일 때 적용 가능 |
| 근사 공식 | α ≈ √(Ka / C) |
| 정확한 공식 | α = (-Ka + √(Ka² + 4KaC)) / (2C) (이차방정식 근의 공식) |
한눈에 비교!
약산 vs 강산 이온화도 비교
| 구분 | 약산 (HA, Ka 작음) | 강산 (HCl, Ka 매우 큼) |
|---|
| 이온화도(α) | α ≪ 1, 농도 의존적 | α ≈ 1 (완전 해리), 농도 무관 |
| pH 계산 | pH = ½(pKa - log C) (근사식) | pH = -log C |
| 희석 효과 | 희석 시 α 증가, pH 변화 큼 | 희석 시 α 변화 없음, pH는 단순 변화 |
암기 팁
"카/씨" (Ka/C)를 기억하세요! 이온화도 α는 Ka를 C로 나눈 값의 제곱근이에요.
연상법: "약산은 묽을수록(분모 C↓) 더 잘 이온화되고(α↑), 강할수록(분자 Ka↑) 더 잘 이온화된다" → Ka가 분자, C가 분모.
국시 빈출 포인트
약사 국가고시 물리약학에서 자주 출제되는 패턴:
1) 주어진 Ka와 C로부터 α 또는 [H⁺] 계산
2) α로부터 pH 계산 (pH = -log(Cα))
3) 농도 변화에 따른 이온화도 변화 추론 (희석하면 α↑)
4)
혼동 주의! Ka = Cα²/(1-α)의 정확한 식과 α ≪ 1 근사식의 적용 조건 구분
기출 변형 주의!
"0.1 M 약산 HA의 pH가 3.0일 때, 이 산의 Ka 값은?"
→ [H⁺] = 10⁻³ = Cα 이므로 α = 10⁻³/0.1 = 0.01. α ≪ 1 이므로 Ka ≈ Cα² = 0.1 × (0.01)² = 1×10⁻⁵. 이렇게 역으로 계산하는 유형도 자주 나와요.