# 반감기 6시간인 약물을 매 6시간마다 반복 투여할 때, 5회 투여 직후(5번째 투여 직후) 혈중농도는 첫 번째 투여 직후 농도(C₀)의 몇 배인가? (단, 1구획 정맥 투여, 소수점 셋째 자리에서 반올림)

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> language: ko  
> subject: 반복 투여 역학

## 문제

반감기 6시간인 약물을 매 6시간마다 반복 투여할 때, 5회 투여 직후(5번째 투여 직후) 혈중농도는 첫 번째 투여 직후 농도(C₀)의 몇 배인가? (단, 1구획 정맥 투여, 소수점 셋째 자리에서 반올림)

## 보기

1. 1.84배
2. 1.97배
3. 2.00배
4. 1.75배
5. 1.94배 **✔ 정답**

**정답: 5**

## 해설

**정답 계산:**
t½ = τ이므로 e^(−kτ) = 0.5, C₀ = D/Vd
n회 투여 직후 최고농도: Cmax,n = C₀ × (1 − e^(−nkτ))/(1 − e^(−kτ))
n=5: Cmax,5 = C₀ × (1 − 0.5⁵)/(1 − 0.5) = C₀ × (1 − 0.03125)/0.5 = C₀ × 0.96875/0.5 = C₀ × **1.9375 ≒ 1.94배**

검산: 직접 합산 = C₀(1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625) = C₀ × 1.9375 (일치)

오답 분석:
① 1.84배: n=4 결과(1−0.5⁴)/0.5 = 0.9375/0.5 = 1.875, 잘못된 n 적용
③ 1.97배: (1−0.5⁶)/0.5 = 0.984375/0.5 = 1.97(n=6 오적용)
④ 2.00배: 정상상태 축적계수 R=2를 n=5에 그대로 적용한 오류
⑤ 1.75배: 등비급수 항 수를 4항으로 잘못 계산(1+0.5+0.25+0.125 = 1.875, 추가 계산 오류)

## 심화 해설

핵심 해설
이 문제는 **1구획 모델(One-compartment model)에서 반복 정맥 투여 시 축적(Accumulation) 정도**를 계산하는 약동학(Pharmacokinetics) 문제예요. 핵심은 핵심! 투여 간격(τ)이 약물의 반감기(t½)와 동일할 때, 소실 속도 상수(k)와 투여 간격의 곱(kτ)이 ln2가 되어 e^(-kτ) 값이 정확히 0.5가 된다는 점이에요.

**핵심 개념 분석 (Key Concept)**
반복 투여 시 약물의 축적은 등비급수(Geometric series)의 합으로 표현됩니다. 매 투여 시 이전 투여량의 일정 비율(여기서는 0.5)이 체내에 남아있기 때문에, n번째 투여 직후 최고 혈중농도(Cmax,n)는 첫 투여 직후 농도(C₀)에 일정 계수를 곱한 값이 됩니다. 투여 간격이 반감기와 같다면, 약물은 한 번의 투여 간격 동안 정확히 절반이 소실되므로 등비가 0.5인 등비급수가 돼요.

**정답 근거 (Answer Rationale)**
n회 투여 직후 최고 농도를 구하는 공식은 다음과 같아요.
Cmax,n = C₀ × (1 − e^(-nkτ)) / (1 − e^(-kτ))
여기서 반감기(t½)가 6시간이고 투여 간격(τ)도 6시간이므로 e^(-kτ) = e^(-ln2) = 0.5예요.
n=5를 대입하면,
Cmax,5 = C₀ × (1 − 0.5⁵) / (1 − 0.5)
= C₀ × (1 − 0.03125) / 0.5
= C₀ × 0.96875 / 0.5
= C₀ × 1.9375
소수점 셋째 자리에서 반올림하면 1.94배가 정답이에요.

검산을 위해 직접 각 투여 후 남은 농도를 더해볼 수도 있어요.
1차: C₀
2차: C₀ + 0.5C₀ = 1.5C₀
3차: C₀ + 0.5(1.5C₀) = 1.75C₀
4차: C₀ + 0.5(1.75C₀) = 1.875C₀
5차: C₀ + 0.5(1.875C₀) = 1.9375C₀
직접 계산 결과와 공식에 의한 결과가 정확히 일치하는 것을 확인할 수 있어요.

**오답 분석 (Distractor Analysis)**
① **1.84배**: n=4일 때의 축적 계수(1 − 0.5⁴)/(0.5) = 0.9375/0.5 = 1.875를 소수점 셋째 자리 반올림 과정에서 계산 오류를 범한 경우예요. 4회 투여 직후 농도를 묻는 문제와 혼동하지 않도록 주의하세요.
② **1.97배**: n=6일 때의 결과값이에요. (1 − 0.5⁶)/(0.5) = 0.984375/0.5 = 1.96875로, 5회가 아닌 6회 투여 시 축적 계수예요.
③ **2.00배**: 혼동 주의! 이 값은 무한대 시간 투여 시 도달하는 정상상태(Steady state)에서의 축적 계수(Accumulation factor, R)예요. R = 1/(1 − e^(-kτ)) = 1/(1 − 0.5) = 2.0. 하지만 이 문제는 정상상태가 아닌 **5회 투여 직후**라는 특정 시점을 묻고 있으므로 정상상태 계수를 그대로 적용하면 안 돼요.
④ **1.75배**: 3회 투여 직후의 농도(1.75C₀)를 5회 투여로 착각했거나, 등비급수의 항을 잘못 계산한 경우예요.

**연관 개념 정리 (Related Concepts)**
반감기와 투여 간격이 동일한 경우(t½ = τ)는 약동학 문제에서 가장 기본적이면서도 중요한 시나리오예요.
핵심! 정상상태 도달 시간은 반감기의 약 4~5배이며, 이때 축적 계수는 2.0에 수렴합니다.
만약 t½ ≠ τ인 경우, e^(-kτ) 값이 0.5가 아니므로 공식에 직접 k 값을 계산( k = ln2 / t½ )하여 대입해야 해요.

개념 정리

| 개념 | 공식/정의 | t½ = τ일 때 |
| --- | --- | --- |
| 소실 속도 상수(k) | k = ln2 / t½ | kτ = ln2 → e^(-kτ) = 0.5 |
| n회 투여 후 최고 농도 | Cmax,n = C₀ × (1 − e^(-nkτ)) / (1 − e^(-kτ)) | C₀ × (1 − 0.5ⁿ) / 0.5 |
| 정상상태 축적 계수(R) | R = 1 / (1 − e^(-kτ)) | 2.0 |
| 정상상태 도달 시간 | 약 4~5 × t½ | 24~30시간 (5회 투여 시점 근접) |

한눈에 비교!

| 투여 횟수(n) | 축적 계수 (Cmax,n / C₀) | 정상상태(2.0) 대비 비율 |
| --- | --- | --- |
| 1회 | 1.00 | 50.0% |
| 2회 | 1.50 | 75.0% |
| 3회 | 1.75 | 87.5% |
| 4회 | 1.875 | 93.75% |
| 5회 | 1.9375 (≒1.94) | 96.875% |
| 무한대(∞) | 2.00 | 100% |

약리기전 포인트
이 문제는 약물 자체의 약리 작용보다는 **약동학적 축적 원리**를 이해하는 것이 핵심이에요. 반복 투여 시 체내 약물량이 증가하는 이유는 **이전 투여분이 완전히 소실되기 전에 다음 투여가 이루어지기 때문**이며, 이로 인해 혈중 농도가 점차 상승하다가 정상상태(Steady state)에 도달하게 됩니다. 이러한 축적 원리를 이해하면 치료약물농도감시(TDM)가 필요한 아미노글리코사이드계(Aminoglycosides) 항생제나 디곡신(Digoxin) 등의 용법 설계 근거를 이해할 수 있어요.

암기 팁
"반감기와 투여 간격이 같으면, 반씩 남는다!" → 등비가 0.5인 등비급수.
"5회 투여 축적 계수 1.94는 정상상태 2.0의 97% 수준!" → 반감기의 5배 시간이 지나면 거의 정상상태에 도달한다는 임상 원리와 연결.
등비급수 합 공식을 외우지 못했다면, 시험장에서 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625를 직접 더하는 것도 빠른 검산 방법이 될 수 있어요.

국시 빈출 포인트
이 유형은 약사 국가고시 **약동학 파트에서 매년 출제되는 단골 계산 문제**예요. 특히 t½ = τ인 상황을 주고 n회 투여 후 농도나 축적 계수를 묻는 문제가 매우 빈번하게 출제되니 반드시 숙지해야 해요. 최근에는 정상상태 도달 비율(예: "4회 투여 시 정상상태의 몇 %에 도달하는가?")을 묻는 형태로도 변형 출제되고 있어요.

기출 변형 주의!
단순 축적 계수 계산에서 나아가, "정상상태의 90%에 도달하는 데 필요한 투여 횟수는?" 또는 "부하 용량(Loading dose)을 투여한 경우 최고 농도 변화"를 묻는 문제로도 변형될 수 있어요. 부하 용량을 투여하면 첫 투여부터 목표 농도에 도달할 수 있다는 점까지 연결해서 학습해두면 좋아요.

## 임상 시나리오

약국/임상 실무 가이드
**임상 시나리오 (Clinical Scenario)**
중환자실(ICU)에서 패혈증 환자에게 반감기가 6시간인 아미노글리코사이드계 항생제를 매 6시간마다 정맥 투여하고 있어요. 5회 투여 직후 약물 혈중 최고 농도를 측정했더니 예상보다 높게 나왔어요. 약사는 "이 약물은 반감기와 같은 간격으로 투여 중이므로, 5회 투여 시점이면 정상상태(Steady state)의 약 97% 수준까지 축적되어야 정상입니다. 하지만 환자의 신기능이 저하되어 소실 속도가 느려진 것은 아닌지 확인이 필요해요."

**복약지도 및 중재 전략 (Counseling & Intervention)**
약동학적 축적 원리는 실제 임상에서 치료약물농도감시(TDM)의 근간이 돼요. 처방 검수 시 **약물의 반감기와 투여 간격의 관계**를 반드시 확인해야 합니다. 특히 신장으로 배설되는 약물(아미노글리코사이드계, 반코마이신 등)은 환자의 크레아티닌 청소율(CrCl)에 따라 반감기가 크게 달라지므로, 단순히 '표준 투여 간격'만 확인해서는 안 돼요. 핵심! 환자 개별 약동학 파라미터를 기반으로 예측 농도를 계산하고, 실제 측정값과 비교하여 용법 조정을 처방의에게 제안해야 합니다.

**환자 안전 및 주의사항 (Precautions)**
축적 계수가 높아질수록 독성 발현 위험도 증가하므로, 최고 농도(Cmax)가 독성 역치를 초과하지 않는지, 최저 농도(Cmin)가 충분히 낮아져 약물이 축적되지 않는지 반드시 모니터링해야 해요. 특히 노인 환자나 신기능 저하 환자에서는 t½이 예상보다 길어져 축적이 더 심해질 수 있으니 주의해야 합니다.

복약지도 프로토콜
- **입원 환자**: "이 약물은 일정한 간격으로 투여하여 체내에서 효과를 유지하는 것이 중요합니다. 의료진이 혈중 농도를 주기적으로 측정하여 가장 안전하고 효과적인 용량을 찾고 있어요."
- **TDM 검사 시**: 채혈 타이밍(최고 농도는 투여 후 30분~1시간, 최저 농도는 다음 투여 직전)이 정확해야 올바른 평가가 가능함을 간호사와 공유하세요.

선배 약사의 한마디
"약동학 공식, 단순히 숫자 외우기로 생각하면 금방 까먹어요. 하지만 이 1.94배라는 숫자가 실제 환자에게서 '약물이 얼마나 쌓였는지'를 의미한다는 걸 기억하면 절대 잊히지 않아요. 여러분이 계산한 축적 계수 하나가 환자의 독성 예방과 적절한 용량 조절로 이어집니다. 공식을 외울 땐 항상 '이걸 환자에게 어떻게 적용하지?'를 고민해보세요!"

## 핵심 개념

- **축적 계수(Accumulation Factor)** — 반복 투여 시 첫 투여 직후 농도(C₀) 대비 n회 투여 직후 최고 혈중농도의 비율. R = 1 / (1 − e^(-kτ))
- **정상상태(Steady State)** — 반복 투여 시 약물의 투여 속도와 소실 속도가 평형을 이루어 혈중 농도가 일정 범위 내에서 유지되는 상태. 반감기의 약 4~5배 시간 경과 후 도달
- **반감기(Half-life, t½)** — 체내 약물 농도가 절반으로 감소하는 데 걸리는 시간. t½ = ln2 / k = 0.693 / k
- **소실 속도 상수(Elimination Rate Constant, k)** — 단위 시간당 약물이 체내에서 제거되는 비율을 나타내는 상수. k = ln2 / t½
- **1구획 모델(One-compartment Model)** — 약물 투여 후 체내가 하나의 균일한 구획으로 작용하여 즉시 평형에 도달한다고 가정하는 약동학 모델

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