# van Deemter 방정식에서 최적 유속(uopt)에 대한 설명으로 옳은 것은?

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> subject: 크로마토그래피 기초

## 문제

van Deemter 방정식에서 최적 유속(uopt)에 대한 설명으로 옳은 것은?

## 보기

1. B항이 0에 수렴하는 유속에서 HETP가 최솟값을 가진다
2. 세 항의 합이 최대가 되는 유속에서 HETP가 최솟값을 가진다
3. B항과 C항의 기여가 같아지는 유속에서 HETP가 최솟값을 가진다 **✔ 정답**
4. A항과 B항의 기여가 같아지는 유속에서 HETP가 최솟값을 가진다
5. A항과 C항의 기여가 같아지는 유속에서 HETP가 최솟값을 가진다

**정답: 3**

## 해설

HETP = A + B/u + Cu를 유속 u에 대해 미분하여 0으로 놓으면, -B/u² + C = 0, 즉 B/u² = C가 되어 u_opt = √(B/C)가 구해진다. 이 조건은 B항(= B/u)과 C항(= Cu)의 기여가 서로 같아지는 지점이다. A항은 유속과 무관한 상수이므로 최적 유속 결정에 관여하지 않는다. 따라서 B항과 C항이 같아지는 유속에서 HETP가 최소가 된다.

## 심화 해설

핵심 해설
이 문제는 크로마토그래피(Chromatography)의 분리 효율을 결정짓는 van Deemter 방정식(Van Deemter equation)에서 최적 유속(Optimum flow rate, uopt)의 수학적, 물리적 의미를 묻고 있어요. van Deemter 방정식은 이론단 해당높이(HETP, Height Equivalent to a Theoretical Plate)를 이동상의 선형 유속(Linear velocity, u)의 함수로 나타낸 식입니다.

**1. 핵심 개념 분석 (Key Concept)**

van Deemter 방정식은 HETP = A + B/u + Cu로 표현됩니다. 여기서 각 항은 분리 효율을 저하시키는 서로 다른 물리적 요인을 의미해요.

| 항 | 물리적 의미 | 유속(u)과의 관계 |
| --- | --- | --- |
| A (와류 확산, Eddy diffusion) | 충전 컬럼에서 용질 분자가 서로 다른 경로를 통해 이동하며 띠가 넓어지는 현상 | 유속에 무관한 상수 |
| B/u (세로 확산, Longitudinal diffusion) | 이동상 내 농도 차이에 의해 용질 띠가 앞뒤로 확산되는 현상 | 유속이 느릴수록 체류 시간이 길어져 확산이 커짐 (반비례) |
| Cu (물질 이동 저항, Mass transfer resistance) | 이동상과 고정상 사이에서 용질 분자가 평형에 도달하는 데 걸리는 시간 지연 | 유속이 빠를수록 평형 지연으로 인한 띠 넓어짐이 커짐 (비례) |

HETP 값이 작을수록 컬럼 효율이 높고, 분리능이 우수해집니다.

**2. 정답 근거 (Answer Rationale)**

핵심! 최적 유속(uopt)은 HETP가 최소가 되는 유속입니다. 이를 구하기 위해 van Deemter 방정식(HETP = A + B/u + Cu)을 유속 u로 미분한 뒤 0으로 두면 다음과 같습니다.
d(HETP)/du = -B/u2 + C = 0 → B/u2 = C
양변에 u를 곱하면 B/u = Cu가 됩니다. 이는 B항(세로 확산)과 C항(물질 이동 저항)의 기여도가 같아지는 지점이에요. 따라서 **B항과 C항의 기여가 같아지는 유속에서 HETP가 최소**가 되므로 3번이 정답입니다. 이때의 최적 유속은 uopt = √(B/C)입니다.

**3. 오답 분석 (Distractor Analysis)**

혼동 주의! van Deemter 곡선의 각 항이 유속에 따라 어떻게 변화하는지 정확히 이해해야 해요.
① **B항이 0에 수렴하는 유속**: B항(B/u)은 유속이 무한대일 때 0에 수렴하지만, 이때 C항(Cu)이 무한대로 커지므로 HETP는 최소가 아니라 오히려 매우 커집니다.
② **세 항의 합이 최대가 되는 유속**: 이는 HETP가 최대인 지점으로, 최적 유속과는 정반대 개념입니다.
④ **A항과 B항의 기여가 같아지는 유속**: A항은 상수이고 B항은 유속에 반비례하므로 이론적으로 두 값이 같아지는 유속은 존재할 수 있지만, 이는 최적 유속과는 무관합니다.
⑤ **A항과 C항의 기여가 같아지는 유속**: 마찬가지로 A항(상수)과 C항(비례)이 같아지는 지점은 최적 유속 조건(B/u = Cu)을 만족하지 않습니다.

**4. 연관 개념 정리 (Related Concepts)**

실제 크로마토그래피 실험에서는 van Deemter 곡선을 통해 최적 유속보다 약간 더 빠른 유속을 사용하는 경우가 많습니다. 이는 분석 시간을 단축시키면서도 효율 저하를 감수할 수 있기 때문입니다. 또한, 입자 크기가 작은 컬럼(예: UHPLC)일수록 C항이 작아져 최적 유속이 증가하고, 더 높은 유속에서도 높은 효율을 유지할 수 있어요.

개념 정리
van Deemter 방정식은 크로마토그래피 분리의 핵심 이론으로, 컬럼 효율(HETP)과 유속(u)의 관계를 A(와류 확산), B(세로 확산), C(물질 이동 저항)의 세 가지 물리적 요인으로 설명합니다. 최적 유속(uopt)은 B항과 C항의 기여가 같아지는 √(B/C) 지점입니다.

한눈에 비교!

| 유속 조건 | 지배적 현상 | HETP 변화 |
| --- | --- | --- |
| 저유속 (u < uopt) | B항(세로 확산) 지배적 | 유속 감소 시 HETP 급증 |
| 최적 유속 (u = uopt) | B항과 C항의 기여가 동일 | HETP 최소 |
| 고유속 (u > uopt) | C항(물질 이동 저항) 지배적 | 유속 증가 시 HETP 증가 |

암기 팁
"B항은 **B**alance(저울), C항은 **C**ounter(상대)"라고 연상해 보세요. 최적 유속은 B항과 C항이 서로 균형(Balance)을 이루며 대응(Counter)하는 지점입니다. 또는 "B/u = Cu"라는 등식을 "비유시유(B/u = C*u)"라는 리듬으로 외우는 것도 좋은 방법이에요.

국시 빈출 포인트
van Deemter 방정식은 약제학 및 기기분석 파트에서 매년 꾸준히 출제되는 단골 주제입니다. 각 항(A, B, C)의 물리적 의미를 묻는 문제와 최적 유속을 구하는 계산 문제가 주로 출제되며, 충전 컬럼과 모세관 컬럼(Open tubular column)에서의 방정식 형태 차이를 비교하는 문제로도 확장될 수 있습니다.

기출 변형 주의!
단순히 최적 유속을 묻는 것에서 나아가, "컬럼 온도를 높이면 van Deemter 곡선이 어떻게 변화하는가" 또는 "입자 크기가 작은 컬럼을 사용했을 때 C항과 최적 유속의 변화는?"과 같이 실험 조건을 바꾸어 묻는 응용 문제로 변형될 수 있어요.

## 임상 시나리오

약국/임상 실무 가이드
- **임상 시나리오 (Clinical Scenario)**: 병원 약제부에서 고성능 액체 크로마토그래피(HPLC)를 이용해 치료약물농도감시(TDM)를 위한 반코마이신(Vancomycin) 혈중 농도 분석을 수행하는 상황입니다. 분석 시간을 단축하기 위해 무작정 유속을 높였다가는 피크가 넓어지고 분리능이 떨어져 정확한 정량이 어려워질 수 있어요. 이때 분석 담당 약사는 van Deemter 방정식을 바탕으로 해당 컬럼의 최적 유속을 숙지하고, 효율과 분석 시간 사이의 균형을 고려하여 적절한 유속을 설정해야 합니다.
- **환자 안전 및 주의사항 (Precautions)**: 부정확한 크로마토그래피 분석은 잘못된 TDM 결과를 초래하여 환자에게 과소용량(치료 실패) 또는 과다용량(독성 발현)으로 이어질 수 있습니다. 특히 신장 독성(Nephrotoxicity)이 우려되는 아미노글리코사이드(Aminoglycoside) 계열 항생제나 항암제 분석 시에는 더욱 엄격한 분석법 검증(Validation)이 필수적입니다.

복약지도 프로토콜
TDM을 위해 채혈한 환자에게는 정확한 약물 투여 시각과 채혈 시각 기록의 중요성을 반드시 교육해야 합니다. 최적 유속 분석을 통해 얻은 정확한 혈중 농도 결과를 바탕으로, 약사는 처방의와 협의하여 개별 환자에게 최적화된 용량 및 투여 간격을 결정하는 중재 역할을 수행합니다.

선배 약사의 한마디
"Van Deemter 방정식은 단순한 시험 문제를 넘어, 약사가 HPLC 분석법을 개발하거나 문제를 해결(Troubleshooting)할 때 실제로 활용하는 살아있는 지식이에요. 'B/u = Cu'라는 공식 하나만 기억하고 있으면, 피크 모양이 비정상적일 때 유속 문제인지, 컬럼 노후화인지 빠르게 진단하는 혜안을 가질 수 있답니다!"

## 핵심 개념

- **van Deemter 방정식(Van Deemter equation)** — 크로마토그래피에서 이론단 해당높이(HETP)와 이동상 유속(u)의 관계를 설명하는 기본 방정식. HETP = A + B/u + Cu로 표현되며, 컬럼 효율 최적화에 핵심적인 역할을 합니다.
- **이론단 해당높이(HETP, Height Equivalent to a Theoretical Plate)** — 크로마토그래피 컬럼의 분리 효율을 나타내는 지표입니다. 값이 작을수록 이론단수(N)가 커지며, 주어진 컬럼 길이에서 분리능이 높아짐을 의미합니다.
- **최적 유속(Optimum flow rate, uopt)** — HETP가 최소가 되는 이동상의 선형 유속입니다. van Deemter 방정식에서 B항과 C항의 기여도가 같아지는 지점으로, uopt = √(B/C)로 계산됩니다.
- **와류 확산(Eddy diffusion, A term)** — 충전 컬럼 내에서 용질 분자가 다양한 경로로 이동하며 발생하는 띠 넓어짐 현상입니다. 충전물 입자의 크기와 균일성에 영향을 받으며, 유속과는 무관한 상수항입니다.
- **물질 이동 저항(Mass transfer resistance, C term)** — 이동상과 고정상 사이에서 용질 분자가 평형에 도달하는 속도가 유한하여 발생하는 띠 넓어짐 현상입니다. 유속이 빠를수록 평형 지연이 커져 HETP가 증가하는 요인이 됩니다.

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