# 분산을 계산하는 공식으로 옳은 것은? (단, n은 자료의 수, x̄는 평균, xi는 개별 자료값)

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> subject: 기술통계

## 문제

분산을 계산하는 공식으로 옳은 것은? (단, n은 자료의 수, x̄는 평균, xi는 개별 자료값)

## 보기

1. √[Σ(xi - x̄)² / n]
2. √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)]
3. Σ(xi - x̄) / n
4. Σ(xi - x̄)² / n **✔ 정답**
5. Σ(xi - x̄)² / (n-1)

**정답: 4**

## 해설

모분산의 공식은 Σ(xi - μ)² / N이다. 표본분산은 자유도 보정을 위해 (n-1)로 나누지만, 문제에서 모집단에 대한 공식을 묻거나 일반적인 개념으로는 Σ(xi - x̄)² / n 이다. 4번은 표본분산의 공식이다.

## 심화 해설

보건행정 핵심 해설
이 문제는 보건통계학의 기초 중 분산(Variance) 계산 공식을 묻고 있어요. 분산은 자료가 평균으로부터 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 가장 중요한 산포도(Measure of Dispersion) 중 하나로, 보건행정에서 질병 발생률, 의료비 지출, 환자 만족도 점수 등 다양한 데이터의 변동성을 분석할 때 필수적으로 사용되는 개념이에요.

**핵심 개념 분석 (Key Concept)**: 분산은 "편차(개별값 - 평균)의 제곱의 평균"이에요. 이 정의가 가장 정확한 핵심이죠. 문제에서 주어진 조건 "n은 자료의 수, x̄는 평균, xi는 개별 자료값"을 바탕으로 이 정의를 수식으로 옮기면 정답이 나와요.

**정답 근거 (Answer Rationale)**: 핵심! 분산의 기본 정의는 "편차 제곱의 합을 자료의 수로 나눈 값"입니다. 따라서 수식은 Σ(xi - x̄)² / n 이 맞아요. 이는 모분산(Population Variance)을 계산할 때 사용하는 공식과 동일하며, 표본에서도 평균(x̄)을 사용하여 계산하는 일반적인 공식이에요. 정답은 ④번입니다.

**오답 분석 (Distractor Analysis)**:
*   ①번 √[Σ(xi - x̄)² / n]: 이는 표준편차(Standard Deviation)의 공식이에요. 분산에 제곱근(√)을 씌운 값이죠. 혼동 주의! 분산과 표준편차를 헷갈리지 마세요.
*   ②번 √[Σ(xi - x̄)² / (n-1)]: 이는 표본표준편차(Sample Standard Deviation)의 공식이에요. 마찬가지로 분산이 아니라 표준편차이며, 분모에 자유도(n-1) 보정이 들어갔어요.
*   ③번 Σ(xi - x̄) / n: 이는 "편차의 평균"이에요. 수학적으로 항상 0이 되므로 자료의 퍼짐을 측정하는 데 사용할 수 없어요.
*   ⑤번 Σ(xi - x̄)² / (n-1): 이는 표본분산(Sample Variance, s²)의 공식이에요. 모분산의 불편추정량(Unbiased Estimator)을 구하기 위해 자유도(n-1)로 나누는 보정을 적용한 것이에요. 문제에서 특별히 "표본분산"이라고 명시하지 않았으므로 일반적인 분산 공식으로는 틀린 선택지입니다.

**연관 개념 정리 (Related Concepts)**: 분산과 함께 산포도를 측정하는 다른 지표로는 범위(Range), 사분위간 범위(IQR), 표준편차 등이 있어요. 특히 표준편차는 분산의 제곱근으로, 원 자료와 단위가 동일해 해석이 용이하다는 장점이 있어 실무에서 더 자주 사용되요.

개념 정리

| 용어 | 의미 | 공식 (표본 기준, 평균 x̄ 사용) | 비고 |
| --- | --- | --- | --- |
| 분산(Variance) | 편차 제곱의 평균 | Σ(xi - x̄)² / n | 단위가 제곱됨 |
| 표준편차(Standard Deviation) | 분산의 제곱근 | √[ Σ(xi - x̄)² / n ] | 원 자료와 단위 동일, 해석 용이 |
| 표본분산(Sample Variance) | 모분산의 불편추정량 | Σ(xi - x̄)² / (n-1) | 자유도(n-1)로 나눔 |

한눈에 비교!

| 구분 | 분산 (일반/모분산) | 표본분산 |
| --- | --- | --- |
| 공식 (분모) | 자료의 수 (n) | 자유도 (n-1) |
| 용도 | 주어진 데이터 세트 자체의 변동성 측정 | 표본 데이터로부터 모집단의 변동성을 추정 |
| 관계 | 표본분산은 모분산의 불편추정량. 표본 크기(n)가 클수록 두 값이 유사해짐. |  |

실무 포인트
보건행정 실무에서, 예를 들어 병원 내 각 진료과별 월 평균 재원일수(Length of Stay)의 분산을 계산한다면, 각 과의 평균 재원일수와 개별 환자 데이터를 사용해 Σ(개별 재원일수 - 과 평균)² / (해당 과 환자 수) 공식을 적용하게 돼요. 이 값을 통해 어떤 과는 환자 재원일수가 고르고(분산 작음), 어떤 과는 차이가 크다(분산 큼)는 운영 효율성 분석에 활용할 수 있어요.

암기 팁
"**분산은 편차 제곱의 평균**"이라는 문장만 기억하세요! "편차"(xi - x̄), "제곱"(²), "평균"(÷ n)이라는 세 요소가 공식에 그대로 반영돼요. 표본분산은 "평균을 뺐으니 자유도 하나 잃어서 (n-1)로 나눠"라고 연상하세요.

국시 빈출 포인트
분산과 표준편차의 기본 정의 및 공식은 핵심! 매년 빠지지 않고 출제되는 기초 통계 개념이에요. 특히 표본분산 공식(÷(n-1))과의 비교, 또는 분산과 표준편차의 관계(제곱근)를 묻는 형태로 자주 나와요. 정의를 정확히 이해하면 공식을 외우지 않고도 추론할 수 있어요.

기출 변형 주의!
*   **사례형**: "어느 보건소의 지역 주민 혈압 데이터가 다음과 같을 때, 이 데이터의 분산은?" (실제 숫자 제시)
*   **역개념형**: "분산이 25일 때, 표준편차는?" (분산→표준편차 계산)
*   **함정형**: "표본으로부터 모집단의 분산을 추정할 때 사용하는 공식은?" (→표본분산 공식인 ⑤번이 정답)

## 임상 시나리오

보건행정 실무 가이드
**실무 시나리오 (Clinical Scenario)**: "병원 기획팀에서 신규 도입 예정인 수술 로봇의 효율성을 분석 중입니다. 기존 수술 방식과 로봇 수술 방식별로 수술 소요 시간(분) 데이터를 수집했어요. 두 방식 간 단순 평균 차이보다는, 각 방식 내에서 수술 시간이 얼마나 일관적인지(변동성이 작은지)를 비교하여 장비 도입 타당성을 평가하려고 해요. 어떤 통계량을 계산해야 할까요?"

**행정 중재 전략 (Admin Intervention)**:
1.  **상황 파악**: 비교 대상은 '두 개의 독립된 데이터 세트(기존 수술 vs. 로봇 수술)' 내부의 변동성(일관성)이에요.
2.  **통계 검토**: 평균은 중심 경향을, 분산/표준편차는 산포(변동성)를 나타냅니다. 일관성 비교에는 분산 또는 표준편차가 적합해요.
3.  **대응 및 처리**: 각 수술 방식별 수술 시간 데이터를 이용해 분산(Σ(시간 - 평균시간)² / n)을 계산합니다. 분산 값이 작을수록 수술 시간이 평균에 모여 있어 일관적이라고 해석할 수 있어요. 표준편차도 동일한 비교가 가능하지만, 단위가 원본 데이터와 같아 이해하기 더 쉬울 수 있어요.
4.  **보고**: "로봇 수술의 수술 시간 분산이 기존 대비 XX% 감소하여 시간 관리의 예측 가능성과 운영 효율성이 향상될 것으로 기대됩니다"라는 식으로 분석 결과를 보고서에 담아요.

**법적 안전 및 주의사항 (Precautions)**: 통계 분석 시, 표본 데이터를 사용해 모집단(미래의 모든 해당 수술)을 추론할 때는 혼동 주의! 표본분산(÷(n-1))을 사용해야 더 정확한 추정이 가능해요. 또한, 평균이 크게 다른 두 집단의 변동성을 비교할 때는 분산 대신 변동계수(Coefficient of Variation = 표준편차/평균)를 사용하는 것이 더 적절할 수 있어요.

업무 프로토콜
1.  데이터 수집: 비교하고자 하는 두 집단(예: A방법, B방법)의 개별 측정값 확보.
2.  평균 계산: 각 집단별 평균(x̄_A, x̄_B) 산출.
3.  분산 계산: 각 자료값에서 해당 집단 평균을 뺀 후 제곱하고, 모두 합한 뒤 자료 수로 나눔. (V_A = Σ(xi - x̄_A)² / n_A)
4.  해석 및 비교: 계산된 분산 값 V_A와 V_B를 직접 비교하거나, 표준편차(√V)로 변환하여 비교.
5.  의사결정 지원: 변동성이 작은(분산이 작은) 방법이 예측 가능하고 자원 계획에 유리함을 강조.

선배의 한마디
"통계는 숫자 자체보다 숫자가 말해주는 '이야기'를 읽는 도구예요. 분산이 크다는 건 그만큼 변수가 많고, 관리가 어렵다는 신호일 수 있어요. 병원 행정가는 수술실 가동률, 진료비 청구 금액, 환자 대기 시간 등 모든 데이터의 '평균'과 함께 '분산'을 항상 체크해야 해요. 평균은 좋아 보여도 분산이 크면 어느 날은 예산을 초과하거나, 자원이 모자랄 수 있는 불안정한 상태라는 걸 의미하니까요!"

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